Kann mir mein Vermieter die Urlaubsbetreuung eines Hundes verbieten?

Ja das kann er. Wenn in dem Haus bzw. der Wohnung keine Tiere erlaubt sind, darfst du auch keine Urlaubsbetreuung für einen Hund machen.

Gesetzliche Rechtslage
Fehlen vertragliche Regelungen (z.B. weil kein schriftlicher Mietvertrag abgeschlossen wurde oder weil eine entsprechende Vertragsklausel unwirksam ist), gelten subsidär die Regeln des Mietrechts im BGB. Dort wiederum ist die Tierhaltung jedoch nicht speziell geregelt, so dass man auf allgemeine Grundsätze zurückgreifen muss. Ansatzpunkt der Beurteilung der Zu- oder Unzulässigkeit einer Tierhaltung ist hier der Begriff des „Wohngebrauch“, also die Frage, ob und inwieweit die Tierhaltung heutzutage zur allgemeinen Lebensführung und zum vertragsgemäßen Gebrauch einer Mietwohnung gehört. Vom Grundsatz her zählt die Haltung von Haustieren nach wohl einhelliger Rechtsmeinung zum vertragsgemäßen Gebrauch der Mietsache. Dies ist zunächst einmal unstreitig bei Kleintieren, von denen keine Störungen und Belästigungen ausgehen können, wie z.B. Zierfischen, kleineren Vögeln (z.B. Wellensittichen), Goldhamstern, Schildkröten usw.. Offen ist hier allerdings noch die Frage, inwieweit das Umfeld der an sich harmlosen Tiere zu bewerten ist: So sind z. B. hundert Zierfische für sich gesehen völlig harmlos und störungsfrei, das Aquarium mit 1.000 I Fassungsvermögen stellt jedoch eine ganz erhebliche Gefahr für die Mietsache dar.
Auch kommt es nicht allein auf die Größe und potentielle Lautstärke der Haustiere an, auch deren Gefährlichkeit und „Ekligkeitsgrad“ ist zu berücksichtigen. So gilt die Haltung einer Ratte nicht mehr als vertragsgemäßer Gebrauch der Mietsache (LG Essen, Urt. v. 21.12.90, Az. 1 S 497/90, ZMR 1991, S. 268 ff). Gleiches gilt für die Haltung von Schlangen, Vogelspinnen und Skorpionen, zumindest soweit der Mieter nicht nachweisen kann, dass diese Tiere völlig ungiftig und ungefährlich seien und ein Entweichen völlig ausgeschlossen ist (AG Hamm, Urt. v. 11.1.96, Az. 26 C 329/94, PuR 1996, S. 234 ff). Dagegen ist die Haltung zweier Bartagamen (harmlose Echsen) im Terrarium einer Mietwohnung grundsätzlich keine unerlaubte Haustierhaltung, zumindest dann nicht, wenn „die Haltung von Zierfischen oder Ziervögeln“ erlaubt ist (AG Essen, Urt. v. 18.7.95, Az. 9 C 109/95, ZMR 1996, S. 37 ff.).
Das Hauptproblem in der Praxis ist ohnehin, inwieweit es zum vertragsgemäßen Gebrauch der Mietsache gehört, Hunde oder (in wesentlich geringerem Umfang) Katzen zu halten ? andere Tiere spielen nur eine untergeordnete Rolle. Die Rechtsprechung zur Frage insbesondere der Hundehaltung ist uneinheitlich, allerdings auch sehr abhängig von dem jeweils zur Entscheidung anstehenden Einzelfall.
Ein Teil der Rechtsprechung geht sehr weit zugunsten einer uneingeschränkten Tierhaltung (LG Braunschweig, Urt. v. 1.11.95, Az. 12 S 86/95, WM 1996, S. 291; LG Hildesheim, Urt. v. 11.2.87, Az. 7 472/86, WM 1989, S. 9; AG Köln, Urt. v. 13.7.95, Az. 222 C 15/95; AG Friedberg/Hessen, Urt. v. 26.5.93, Az. C 66/93, WM 1993, S. 398 f), zumindest soweit hierdurch keine Belästigungen eintreten. Der vertragsgemäße Gebrauch ist aber auf jeden Fall auch ohne mietvertragliche Verbotsregelung überschritten, der Vermieter also zur Untersagung der Hundehaltung berechtigt (im wohlverstandenen Interesse der Mitbewohner eventuell sogar verpflichtet!), wenn der Mieter in einer großen Wohnanlage einen sog. „Kampfhund“ halten möchte, unabhängig davon, ob sich dieses konkrete Tier bereits als störend oder sogar gefährlich erwiesen hat (LG München I, Beschl. v. 10.9.93, Az. 13 T 14638/93, ZMR 3/94, S. Il), unabhängig sogar davon, dass ein Teil der Mitbewohner gegen die Hundehaltung keine Einwände hat (LG Krefeld, Urt. v. 17.7.96, Az. 2 S 89/96, WM 1996, S. 533 f).
Der andere Teil der Rechtsprechung steht einer Tierhaltung ohne mietvertragliche Vereinbarung generell ablehnend gegenüber (LG Göttingen, Urt. v. 20.2.91, Az. 5 S 163/90, WM 1991, S. 536; LG Konstanz, Urt. v. 13.2.87, Az. 1 S 273/86, DWW 1987, S. 196).

Wenn Du den Vermieter nicht überreden kannst,eine Ausnahme zu machen,sehe ich da Schwierigkeiten.
Er hat schließlich das Hausrecht.Und was machst Du,wenn sich andere Mieter gestört fühlen und sich beschweren?Oder wieder andere das falsch verstehen,und sich einen Hund zulegen,weil sie denken,es wäre jetzt erlaubt?
Du kanntest Deinen Mietvertrag doch,BEVOR Deine Freundin in den Urlaub fährt.
Um wohlmöglichen langfristigen Ärger mit dem Vermieter auszuschließen,würde ich die Unterbringung in einer Hundepension mit in Erwägung ziehen.

Ohne Zustimmung des Vermieters läuft da gar nichts.